4 هندسه در فضا فصل در اين فصل ميخوانيم: 1. خط و صفحه در فضا الف. اصول هندسهي فضايي ب. وضعیت نسبی دو صفحه در فضا پ. وضعیت نسبی دو خط در فضا ت. وضعیت نسبی خط و صفحه در فضا ث. حاالت چهارگانهي مشخص كردن صفحه در فضا 2. خطها و صفحههاي موازي الف. خط و صفحهي موازي ب. صفحههاي موازي پ. زاويهي بين دو خط در فضا 3. خطها و صفحههاي عمود بر هم الف. خط عمود بر صفحه ب. صفحهي عمودمنصف يك پارهخط پ. دو صفحهي عمود بر هم ت. فاصلهي نقطه از صفحه ث. عمود مشترك دو خط متنافر
هندسه ]2[ سال سوم متوسطه 1. خط و صفحه در فضا ((( الف. اصول هندسهی فضایی اصل 1 : از هر دو نقطهی متمایز در فضا یک و تنها یک خط میگذرد. اصل 2 : از هر سه نقطهی متمایز در فضا که بر یک خط راست قرار ندارند یک و تنها یک صفحه میگذرد. اصل 3 : در هر صفحه دستکم سه نقطه وجود دارد که بر یک خط قرار ندارند. اصل 4 : دستکم چهار نقطه در فضا وجود دارد که بر یک صفحه قرار ندارند. اصل 5 : اگر دو نقطهی متمایز از خطی در یک صفحه باشند آن خط به تمامی در آن صفحه قرار میگیرد. اصل 6 : اگر دو صفحهی متمایز یک نقطهی مشترک داشته باشند این دو صفحه در یک خط مشترک هستند و این خط از آن نقطه میگذرد. اصل 7 : )اصل توازی اقلیدس( از هر نقطه بیرون یک خط در فضا یک و تنها یک خط به موازات آن خط میگذرد. ب. وضعیت نسبی دو صفحه در فضا دو صفحه در فضا نسبت به هم یکی از سه حالت زیر را دارند: 1. بر هم منطبق هستند. 2. هیچ نقطهی مشترکي ندارند. در این دو حالت دو صفحه را موازی هم میگوییم. 3. در یک خط مشترک هستند. در این حالت دو صفحه را متقاطع میگوییم. )محل تقاطع دو صفحه را فصل مشترک دو صفحه مينامند.( پ. وضعیت نسبی دو خط در فضا دو خط در فضا نسبت به هم یکی از سه حالت زیر را دارند: 1. متنافر: دو خطی که در يك صفحه قرار نمیگیرند. 2. موازی: دو خطی از یک صفحه که همدیگر را قطع نکنند یا بر هم منطبق باشند. 3. متقاطع: دو خطی که فقط در یک نقطه مشترک باشند. در حالتهای )2( و )3 ) از دو خط یک صفحه میگذرد. ت. وضعیت نسبی خط و صفحه در فضا خط d و صفحهی P در فضا نسبت به هم یکی از سه حالت زیر را دارند: 1. خط صفحه را قطع نمیکند. 2. خط تماما در صفحه قرار میگیرد. در این دو حالت خط و صفحه را موازی هم میگوییم. 3. خط و صفحه در یک نقطه همدیگر را قطع میکنند. در این حالت خط و صفحه را متقاطع میگوییم. ث. حاالت چهارگانهی مشخص کردن صفحه در فضا 1. از هر سه نقطهی غیر واقع بر یک خط یک و تنها یک صفحه میگذرد )اصل 2(. 2. از یک خط و یک نقطهي خارج آن یک و تنها یک صفحه میگذرد. 3. از دو خط متقاطع یک و تنها یک صفحه میگذرد. 4. از دو خط موازی متمایز یک و تنها یک صفحه میگذرد. 1. توصیه میکنیم برای فراگیری بهتر مطالب این فصل و کسب مهارت در حل مسائل آن ابتدا صورت هفت قضیهی اصلی این فصل را به همراه شمارهی هر کدام به طور دقیق حفظ کنید در ضمن برای امتحانات هماهنگ کشوری بايد اثبات قضایای 5 2 1 و 6 را بدانید. 120
فضا در هندسه چهارم: فصل مثال: متنافرند. CD و AB پارهخطهای کنید ثابت مفروضاند صفحه یک بر واقع غیر D و C B A متمایز نقطهی چهار 1. کی متقاطع خط دو یا موازی خط دو میدانیم متقاطعاند. یا موازی آنگاه خلف( )فرض نباشند متنافر CD و AB پارهخطهای اگر حل: باطل خلف فرض درنتیجه است فرض خالف که دارند قرار صفحه یک بر نقطه چهار این اینصورت در و میکنند مشخص را صفحه متنافرند. CD و AB پارهخطهای بنابراین و است متمایز و دلخواه نقطهی دو نیز L 2 خط روی و B و A متمایز و دلخواه نقطهی دو L 1 خط روی اگر متنافرند. L 2 و L 1 خط دو 2. متنافرند. BD و AC خطهای امتداد کنید ثابت برگزینیم را D و C اه نآ بر صفحهای صورت دو هر در و متقاطعاند یا موازی آنگاه خلف( )فرض نباشند متنافر BD و AC پارهخطهای امتداد اگر حل: هستند P روی B و A چون دارند. قرار P مانند صفحه یک بر D و C B A متمایز نقطهی چهار که است معنی بدان این و میگذرد ناممکن این و دارد قرار صفحه یک بر L 2 و L 1 متنافر خط دو یعنی دارد قرار P روی نیز L 2 دلیل همین به و است P روی L 1 پس متنافرند. BD و AC پارهخطهای بنابراین و است باطل خلف فرض درنتیجه و است امتحاني سؤاالت ماه شهریور تهران هماهنگ باشد. درست گزارهای قسمت هر که کنید کامل چنان را زیر 1 عبارتهای 1. مفروضاند: C و B A متمایز نقطهی سه میگذرد. C و B A نقطهی سه از صفحه بیشمار آنگاه... اگر الف. میگذرد. C و B A نقطهی سه از صفحه یک فقط آنگاه... اگر ب. ماه شهریور کشوری هماهنگ و ماه خرداد تهران هماهنگ بنویسید. را فضا در خط دو نسبی 2 اوضاع 2. هام خرداد تهران هماهنگ کنید. بحث آنها نسبی وضع مورد در مشترکاند. A نقطهی در P و P صفحهی 3 دو 3. ماه خرداد کشوری هماهنگ بنویسید. را فضا در صفحه نمایش مختلف 4 صورتهای 4. ماه شهریور کشوری هماهنگ و ماه شهریور تهران هماهنگ کنید. تعریف را صفحه دو مشترک 5 فصل 5. ماه خرداد کشوری هماهنگ شود. تبدیل درست گزارهای به جمله هر تا دهید قرار مناسب کلمهی خالی جاهای 6 در 6. ندارند. قرار صفحه یک بر که دارد وجود فضا در نقطه... حداقل الف. میگذرد. صفحه... فضا در نقطه دو هر از ب. CD و AB خط دو اگر تنها و اگر دارند قرار صفحه یک در نقطه چهار این کنید ثابت باشند فضا در متمایز نقطهی چهار D و C B A 7 اگر 7. باشند. موازی یا متقاطع ماه خرداد کشوری هماهنگ دارند. قرار صفحه یک در خط سه این کنید ثابت نیستند همرس ولی هستند متقاطع بهدو دو L 3 و L 2 L 1 خط 8 سه. 8 کنید. ماه خرداد کشوری هماهنگ نایب را صفحه و خط نقاط مجموعهي وضع باشد d اگرP میگذرد. O نقطهی بر d خط و مفروضاند O کهP O نقطهی و P 9 صفحهی. 9 ماه شهریور تهران هماهنگ 121
متوسطه سوم سال ]2[ هندسه مه به نسبت P 2 و P 1 صفحهی دو نسبی وضعیت باشند L 2 شامل صفحهای P 2 و L 1 شامل صفحهای P 1 و متقاطع خط دو L 2 و L 1 1 اگر 010 باشد میتواند چگونه ماه دی کشوری هماهنگ نقطهها این دوبهدوی از که خطهایی وضعیت باشند نداشته قرار صفحه یک در که باشند فضا در متمایز نقطهی چهار D و C B A 1 اگر 111 است چگونه میگذرد درسي كتاب امتحاني سؤاالت پاسخ نباشند. راستا یک بر C و B A متمایز نقطهی سه ب. باشند. راستا یک بر C و B A متمایز نقطهی سه الف. 1 2 متنافر متقاطع متمایز موازی منطبق دارند: حالت چهار هم به نسبت فضا در خط دو تسا خطی صفحه دو مشترک فصل حالت این در متقاطعاند یا منطبقاند هم بر صفحه دو یا هستند مشترک A نقطهی در P و P صفحهی دو چون میگذرد. A از که خط یک بر واقع غیر نقطهی سه 1. میشود: مشخص حالت چهار در صفحه یک فضا در آن خارج نقطهي یک و خط یک 2. متقاطع خط دو 3. متمایز موازی خط دو 4. نامند. صفحه دو آن مشترک فصل را خط این مشترکاند راست خط یک در صفحه دو آن باشند متقاطع صفحه دو اگر 3 4 5 6 بیشمار ب. چهار الف. خط دو اگر عکس بر متقاطعاند یا موازی خط دو این صفحه در خط دو نسبی حالتهای بنابر باشند داشته قرار صفحه یک بر CD و AB خط دو اگر 7 میگذرد. صفحهای خط دو این بر باشند موازی یا متقاطع CD و AB نقطهی سه این چون متقاطعاند C و B A نقاط در دوبهدو خط سه این کنیم فرض اگر P را آن که میگذرد صفحه یک تنها و یک نقطه سه این بر ندارند قرار راستی خط بر متمایز این تمام پس دارند قرار P روی نقطهاش دو L 3 و L 2 L 1 خطهای از یک هر از مینامیم. واقعاند. P صفحهی بر خطها رب یا خط این نتیجه در هستند مشترک نقطه یک در دستکم d خط و P صفحهی پس دارد قرار d خط روی هم و P صفحهی روی هم O نقطهی دارد. قرار P صفحهی روی d پس d P چون ولی میباشد متقاطع آن با یا و است منطبق صفحه 8 9 122
فضا در هندسه چهارم: فصل هستند مشترک A در P 2 و P 1 صفحهی دو پس دارد قرار P 2 روی هم و P 1 روی هم نقطه این بگیریم A را L 2 و L 1 خط دو برخورد نقطهی اگر متقاطعاند. میگذرد A از که راستی خط در یا منطبقاند هم بر یا صفحه دو این نتیجه در P را C و B A از گذرنده صفحهی اگر میگذرد. صفحه یک تنها و یک متمایز نقطهی سه هر از آن رئوس D و C B A که میدهد تشکیل را هرمی وجوه از یکی P صفحهی شکل مطابق بنامیم متنافرند. دوبهدو یا متقاطعاند دوبهدو یا که میکنند گذر خط شش نقطه چهار این از هستند. 10 11 موازي صفحههاي و خطها 2. موازی صفحهی و خط الف. میکند. قطع L با موازی خط یک در را P باشد متقاطع P با و بگذرد L از که صفحه هر باشد موازی P صفحهی با L خط اگر 1: قضیه است. موازی P صفحهی با L خط آنگاه باشد موازی P صفحهی خطهای از یکی با L خط اگر 2: قضیه بدیهی و روشن است.( موازی صفحه آن خطهای از یکی با دستکم باشد موازی صفحهای با خطی )اگر فوق قضیهی عکس آنکه به توجه با باشد. موازی P صفحهی خطهای از یکی با L اگر تنها و اگر است موازی P صفحهی با L خط از: است عبارت صفحه و خط توازی شرط است صفحهی در تمامی به شود رسم L موازات به A از که خطی آنگاه باشد P صفحهی از نقطهای A و موازی P صفحهی با L خط اگر 3: قضیه دارد. قرار P موازیاند. هم با خط دو آن باشند موازی دیگری خط با خط دو اگر )1(: نتیجهی است. موازی آنها مشترک فصل با باشد موازی متقاطع صفحهی دو با خطی اگر )2(: نتیجهی )3( قضیهی از ناشی موازی صفحههای و خطها از ویژگی چند میکند. قطع هم را دیگری کند قطع را موازی خط دو از یکی صفحهای اگر 1. میکند. قطع هم را دیگری کند قطع را موازی صفحهی دو از یکی خطی اگر 2. هستند. موازی یکدیگر با مشترکها فصل و میکند قطع نیز را دیگری کند قطع را موازی صفحهی دو از یکی صفحهای اگر 3. مثال: Q کهd=φ باشد چنان Q صفحهی اگر است. P و P صفحهی دو مشترک فصل d خط است. Q و P مشترک فصل موازی Q و P مشترک فصل کنید ثابت D را Q و P صفحهی دو مشترک فصل و D را Q و P صفحهی دو مشترک فصل اگر ل: ح عبور d خط از که P و P صفحات و d چونQ است. D D کنیم ثابت باید بنامیم با لذا. D dو D داریمd )1( قضیهی بنابر میباشند متقاطع Q صفحهی با کردهاند D D میشود: اثبات )3( قضیهی از )1( نتیجهی به توجه از یکی از خط هر موازی صفحهی دو در پس است موازی دیگر صفحهی با صفحه دو این از یکی از خط هر باشند موازی صفحه دو اگر طخ دو با دستکم صفحه دو این از یکی از متقاطع خط دو هر درنتیجه و است موازی دیگر صفحهی از خط یک با دستکم صفحهها این ميشود. بيان )4( قضیهی عنوان تحت که است درست نیز مطلب این عکس است. موازی دیگر صفحهی از متقاطع 123
متوسطه سوم سال ]2[ هندسه موازی صفحههای ب. بهدو دو دیگر صفحهای از متقاطع خط دو با صفحهای از متقاطع خط دو اگر 4: قضیه موازیاند. صفحه دو آن باشند موازی قطع را آنها که خط دو روی موازی صفحههای فضا(: در تالس )قضیهی 5 قضیه هس R و Q P اگر یعنی میآورند پدید متناسب متناظر پارهخطهای میکنند B A نقطههای در بهترتیب را صفحهها این L و L خط دو و باشند موازی صفحهی AB AB = آنگاه: کنند قطع BC BC C و B A و C و نیست. برقرار فضا در تالس قضیهی عکس که باشیم داشته توجه مثال: روبهرو شکل همانند را P 3 و P 2 P 1 موازی صفحهی سه d 2 و d 1 متنافر خط دو AA 1 3 = 24 P 3 از P 2 فاصلهی برابر دو P 2 از P 1 فاصلهی اگر کردهاند. قطع است چقدر AA 2 3+ BB 2 3 حاصلجمع آنگاه باشد BB 1 2 = 8 و داریم: فضا در تالس قضیهی بنابر حل: AA 1 2 BB 1 2 2h = = = 2 AA 2 3 BB 2 3 h BB 1 2 3 = BB 2 1 2 = 4 AA AA AA 1 2 3 = AA 2 1 2 1 2+ 2 3=24 AA 2 3 = 8 AA 2 3 + BB 2 3 = 12 بنابراین: فضا در خط دو بین زاویهی پ. L و L متنافر خط دو L یا L روی نقطه هر از اگر بگیرید درنظر را میشود. نامیده متنافر خط دو آن بین زاویهی متقاطع خط باشد. قائمه آنها بین زاویهی هرگاه نامند هم بر عمود را L و L خط دو دو این بین قائمهی یا حاده زاویهی کنیم رسم دیگری موازی خطی امتحاني سؤاالت میکند. قطع L موازی خط یک در را P باشد متقاطع P با و بگذرد L از که صفحه هر باشد موازی P صفحهی با L خط اگر کنید ثابت 1 قضیه: 212 است. موازی P صفحهی با L خط آنگاه باشد موازی P صفحهی خطهای از یکی با L خط اگر کنید ثابت 1 قضیه: 313 ماه شهریور کشوری هماهنگ و ماه شهریور تهران هماهنگ ماه دی و شهریور خرداد کشوری هماهنگ درسی کتاب کرد ( رسم میتوان خط )چند کنید. رسم P موازی خطی P صفحهی خارج A نقطهی 1 از 414 ماه دی و شهریور کشوری هماهنگ دهید.( شرح را رسم )روش بگذرانید. P صفحهی موازی صفحه یک P صفحهی خارج A نقطهی 1 از 515 124
فضا در هندسه چهارم: فصل است. موازی آنها مشترک فصل با باشد موازی متقاطع صفحهی دو با خطی اگر کنید 1 ثابت 616 دارند. ماه شهریور کشوری هماهنگ و شهریور تهران هماهنگ کنند قطع C و B A و C و B A نقطههای در بهترتیب را صفحهها این L و L خط دو و باشند موازی صفحهی سه R و Q P اگر 1717 قضیه: ماه خرداد کشوری هماهنگ فضا( در تالس )قضیهي AB AB = کنید: ثابت BC BC رارق P موازی صفحه یک در هستند موازی P با که O از گذرنده خطهای کلیهی کنید ثابت باشد P مانند صفحهای از خارج نقطهای O 1 اگر 818 ماه خرداد کشوری هماهنگ ماه خرداد کشوری هماهنگ شود. تبدیل درست عبارتی به قسمت هر که کنید پر طوری را خالی 1 جاهای 919 ندارند. قرار صفحه یک بر که دارد وجود فضا در نقطه... حداقل الف. میشود. نامیده صفحه دو آن... صفحه دو تالقی محل ب. باشد. موازی L با که دارد وجود L شامل صفحه یک باشند... خط دو L و L اگر پ. میگذرد. صفحه آن موازی خط... صفحه یک خارج نقطه یک از ت. ماه خرداد کشوری هماهنگ است. موازی هم دیگری با باشد موازی موازی صفحهی دو از یکی با که خطی کنید 2 ثابت 020 هستند. موازی هم با خودشان باشند موازی سومی صفحهی با صفحه دو اگر کنید 2 ثابت 121 است. موازی هم دیگری با باشد موازی موازی خط دو از یکی با صفحهای اگر کنید 2222 ثابت ماه شهریور کشوری هماهنگ کنید. تعریف را متنافر خط دو بین 2 زاویهی 323 در و کنید ثابت را حکم این درستی صورت در میکند قطع هم را دیگری لزوما آیا کند قطع را موازی خط دو از یکی خطی اگر فضا 2424 در کنید. رسم شکل با مثال یک نادرستی صورت ماه دی کشوری هماهنگ صفحهی از خط هر اگر برعکس است. موازی دیگر صفحهی با صفحهها این از یکی بر واقع خط هر باشند موازی صفحه دو اگر کنید 2525 ثابت موازیاند صفحه دو آن باشد موازی دیگری مفروض صفحهی با مفروضی درسي كتاب ثابت را حکم این درستی صورت در موازیاند خط دو این گرفت نتیجه میتوان آیا باشند داشته قرار موازی صفحهی دو در خط دو 2626 اگر کنید. رسم شکل با مثال یک نادرستی صورت در و کنید تألیفی درسی کتاب دارند. قرار قاعده صفحهی موازی صفحه یک در آن جانبی یالهای وسط هرم یک در کنید 2 ثابت 727 مساحت نسبت است. SA = 5SA و ABC قاعدهی موازی ABC صفحهی روبهرو هرم 2828 در درسي كتاب است چقدر ABC مثلث مساحت به ABC مثلث کی از سه هر یا هستند موازی خط سه یا صفحه سه این مشترکهای فصل کنید ثابت باشند متقاطع دوبهدو صفحهی سه P 3 و P 2 P 1 2 اگر 929 میگذرند. نقطه درسی کتاب درسی کتاب است. عمود نیز دیگری بر باشد عمود موازی خط دو از یکی بر خطی اگر کنید ثابت خط دو میان زاویهی تعریف به توجه 3 با 030 125
متوسطه سوم سال ]2[ هندسه امتحاني سؤاالت پاسخ گرفت: درنظر میتوان حالت دو L خط برای حالت انطباق چون و میکند قطع L خط همان در را P صفحهی بگذرد L خط از که Q مانند صفحه هر حالت این در دارد: قرار P صفحهی در L خط 1. میباشد. موازی P با L است توازی از خاصی طخ در را P صفحهی و میگذرد L از که باشد صفحهای Q اگر ندارد: قرار P صفحهی در L خط 2. 12 نقطهی در را یکدیگر خط دو این اگر زیرا نمیکنند قطع را همدیگر d و L خطهای کند قطع d درنتیجه M L که آنجا از و M پسP d P و M چونd آنگاه کنند قطع M چون است. فرض خالف که متقاطعاند M نقطهی در P صفحهی و L خط یعنی M P L d L پس: نمیکنند قطع را یکدیگر و هستند صفحه یک در d و L خطهای گرفت: درنظر میتوان حالت دو L خط برای است. درست حکم و L پسP است توازی از خاصی حالت انطباق چون دارد: قرار P صفحهی در L خط 1. دو این چون است موازی L با که باشد P صفحهی از خطی d اگر ندارد: قرار P صفحهی در L خط 2. خط همان Q و P مشترک فصل و میگذرد Q مانند صفحه یک تنها آنها از پس هستند متمایز خط 13 d خط روی M و میکند قطع M مانند نقطهای در را آن خلف( )فرض نباشد موازی P با L اگر است. d با L خط و است باطل خلف فرض پس است فرض خالف که متقاطعاند d و L خط دو یعنی دارد قرار است. موازی P صفحهی دارد.( جواب بیشمار مسئله ( میکشیم. d موازی را D خط A از سپس و میکنیم رسم d مانند دلخواهی خط P صفحهی در میگذرد خط دو این از که صفحهای میکنیم. رسم P صفحهی با موازی متمایز خط دو A نقطهی از میباشد. موازی P صفحهی با آن از متقاطع خط دو زیرا است موازی P صفحهی با 14 15 فصل روی M مانند دلخواهی نقطهی از باشد. Q و P متقاطع صفحهی دو موازی L خط کنیم فرض موازی P صفحهی با L خط چون میکنیم. رسم L با موازی را D خط Q و P صفحهی دو مشترک است واقع Q روی تمامی به نیز D خط دلیل همین به و دارد قرار P روی تمامی به D خط پس است است. موازی L با و میباشد Q و P صفحهی دو مشترک فصل D خط پس 16 126
فضا در هندسه چهارم: فصل صفحهی تا میکنیم وصل C به A از است واقع R و P صفحهی دو بین Q صفحهی اینکه فرض با راستای در را Q صفحهی میگذرد C نقطهی و AA از که صفحهای کند. قطع D نقطهی در را Q داریم: بنابراین است CC BD دلیل همین به و است AA DB پس میکند قطع BD تالس AD AB AC A AA DB = : DC BC AB AB = تالس AD AB ACC : BD CC = BC BC DC BC اب صفحات این پس میگذرند O نقطهی از و موازیاند P صفحهی با صفحات این همهی میگذرد. صفحهای مذکور متقاطع خطوط از خط دو هر از دارند. قرار P موازی صفحهای بر خطوط این تمامی یعنی منطبقاند هم بر همگی دارند مشترک نقطهی یک چون و موازیاند یکدیگر بیشمار ت. متقاطع( )یا متنافر پ. مشترک فصل ب. چهار الف. اب d خط کنیم ثابت باید باشد موازی P صفحهی با نیز d خط و موازی Q و P صفحهی دو کنیم فرض نآ آنگاه خلف( )فرض نباشد موازی Q صفحهی با d خط کنیم فرض اگر است. موازی Q صفحهی طخ یعنی میکند قطع نیز را دیگری کند قطع را موازی صفحهی دو از یکی خطی اگر میکند. قطع را 17 18 19 20 خط درنتیجه و است باطل خلف فرض پس میباشد فرض خالف این و است متقاطع P صفحهی با d است. موازی نیز Q صفحهی با d زا نتیجه سومین )طبق آنگاه خلف( )فرض باشد متقاطع Q با P صفحهی اگر باشند موازی R صفحهی با Q و P متمایز صفحهی دو کنیم فرض نتیجه در و است باطل خلف فرض پس است تناقض این و میکند قطع نیز را R صفحهی P صفحهی درسی( کتاب از 142 صفحهی 3 قضیهی است. موازی Q با P صفحهی خواهد قطع نیز را L خط خلف( )فرض کند قطع را L خط P اگر باشد. موازی L خط با P صفحهی همچنین و موازی هم با L و L خط دو کنیم فرض زین L خط با P صفحهی نتیجه در و است باطل خلف فرض پس است تناقض این و ) درسی کتاب از 142 صفحهی 3 قضیهی از نتیجه اولین )طبق کرد بود. خواهد موازی متقاطع خط دو این بین قائمهی یا حاده زاویهی کنیم رسم دیگری موازی خطی L یا L روی نقطه هر از اگر بگیرید درنظر را L و L متنافر خط دو میشود. نامیده متنافر خط دو آن بین زاویهی را D خط L خط و موازیاند d و D خط دو مقابل شکل در مثال باشد درست ندارد لزومی گزاره این است. متنافر d خط با L خط ولی است کرده قطع 21 22 23 24 127
متوسطه سوم سال ]2[ هندسه رد ار Q صفحهی L خط آنگاه خلف( )فرض اگرL Q باشد. P صفحهی بر واقع L خط و موازی یکدیگر با Q و P متمایز صفحهی دو کنیم فرض اگر برعکس است. فرض خالف که متقاطعاند صفحه دو این یعنی بود خواهد P روی هم و Q روی هم M نتیجه در و کرد خواهد قطع M مانند نقطهای موازیاند. صفحه دو این نتیجه در و موازیاند Q صفحهی با P صفحهی از متقاطع خط دو دستکم باشد موازی Q صفحهی با P صفحهی از خط هر 25 26 و ABCD صفحهی دو مقابل شکل مستطیل مکعب در مثال باشد درست ندارد لزومی گزاره این موازی. نه متنافرند EG و BD ولی موازیاند EFGH ببریم: بهکار را تالس قضیهی عکس OAB و OBC مثلث دو در است کافی OA OB AB AB AA = BB = تالس عكس 1 OB OC BC BC BB = CC = تالس 1 عكس موازياند. صفحه دو اين پس است موازی ABC مقطع از خط دو با قاعده از متقاطع خط دو چون و AB در را موازی صفحهی دو این S و B A نقطهی سه از گذرنده صفحهی و هستند موازی ABC و ABC صفحهی دو آنکه به توجه با داریم: بنابراین است BC BC و AC AC دلیل همین به و AB AB پس میکند قطع AB تالس AB SA SB SAB: AB AB 1 = = = AB SA SB 5 BC SBC: BC BC تالس SB 1 = = ABC A BC BC SB 5 AC SA SAC AC AC تالس 1 : = = AC SA 5 SABC = 1 SABC نتیجه: در 25 دارد: را زیر وضعیت دو از یکی P 3 صفحهی به نسبت L بنامیم L را P 2 و P 1 صفحهی دو مشترک فصل اگر 27 28 29 این پس بود خواهند L با موازی خطوطی ) P 2 و P 1 مانند ( P 3 با متقاطع و L از گذرنده صفحات مشترک فصل اینصورت در : L P 3 اول حالت موازیاند. هم با مشترک فصل سه M نقطهی پس باشد صفحه سه هر درون باید نقطه این مینامیم. M نقطهی را P 3 با L خط برخورد نقطهی اینصورت در : L P 3 دوم حالت میگذرند. نقطه این از مشترک فصل سه هر نتیجه در و است واقع صفحات دوبهدوی مشترک فصل روی در اگر و است عمود نیز L بر باشد داشته قرار L و L از گذرنده صفحهی در d اگر حال d L که است روشن باشد d وL L L اگر است. عمود L بر d متنافر خط دو بین زاویهی تعریف بنابر باشد متنافر L با یعنی باشد نداشته قرار L و L از گذرنده صفحهی 30 128
فضا در هندسه چهارم: فصل هم بر عمود صفحههاي و خطها 3. صفحه بر عمود خط الف. اب و باشد عمود میگذرد تقاطع نقطهی از که P صفحهی خط هر بر و کند قطع را P صفحهی هرگاه است عمود P صفحهی بر L خط داشت: خواهیم بنابراین است عمود صفحه آن از خط هر بر باشد عمود صفحهای بر خطی اگر متنافر خط دو بودن عمود تعریف به توجه باشد. عمود P صفحهی خطهای تمام بر اگر تنها و اگر است عمود P صفحهی بر L خط نقطهی از که آن ناموازی خط دو بر و کند قطع را P صفحهی اگر تنها و اگر است عمود P صفحهی بر L خط تعامد(: اساسی )قضیهی 6 قضیه باشد. عمود میگذرد تقاطع باشد. عمود P از ناموازی خط دو بر اگر تنها و اگر است عمود P صفحهی بر L خط تعامد: اساسی قضیهي تعمیم مثال: میسازد زاویهای چه xoy زاویهی نیمساز با خط این است. عمود xoy زاویهی اضالع بر d خط این نیمساز Oz اگر میباشد. عمود نیز متقاطع خط دو این از حاصل صفحهی بر پس است عمود Oy و Ox خط دو بر d خط چون حل: است. عمود نیز Oz بر d درنتیجه دارد قرار زاویه صفحهی در Oz چون باشد زاویه پارهخط یک عمودمنصف صفحهی ب. مینامیم. پارهخط آن عمودمنصف صفحهی باشد عمود آن بر پارهخط یک وسط در که را صفحهای فاصلهاند. یک به پارهخط آن سر دو از که است فضا از نقطههایی هندسی مکان پارهخط یک عمودمنصف صفحهی هم بر عمود صفحهی دو پ. باشد داشته وجود صفحه دو از یکی در خطی هرگاه مینامیم هم بر عمود را صفحه دو باشد. عمود دیگری بر که صفحهای هر باشد عمود P صفحهی بر d خط اگر که میشود نتیجه تعریف این از است. عمود P صفحهی بر بگذرد d خط از که بر که است خطی شامل کدام هر باشند هم بر عمود صفحهی دو Q و P اگر 7: قضیه میباشد. عمود دیگری صفحه از نقطه فاصلهی ت. ار AB پارهخط طول بنامیم B نقطهی را P صفحهی با است عمود P صفحهی بر و میگذرد A نقطهی از که خطی تالقی محل اگر مینامیم. P صفحهی تا A نقطهی فاصلهی مثال:.تسا P صفحهی نقاط تا A بین فاصلهی کمترین P صفحهی تا A نقطهی فاصلهی کنید ثابت که باشد P از دلخواه نقطهای M و بنامیم B را میشود رسم P بر A از که عمودی پای اگر حل: نتیجه در و است وتر AM خط پاره ABM قائمالزاویهی مثلث در آنگاه ندارد قرار B بر است. P صفحهی از A فاصلهی کمترین AB عمود طول یعنی AB < AM 129
متوسطه سوم سال ]2[ هندسه متنافر خط دو مشترک عمود ث. میشود. نامیده متنافر خط دو آن مشترک عمود خط باشد عمود آنها دو هر بر و کند قطع را متنافر خط دو که خطی رس دو که پارهخطهایی تمام میان از یعنی میباشد متنافر خط دو آن بر متکی پارهخط کوتاهترین و یکتاست متنافر خط دو مشترک عمود دارد. را طول کوتاهترین L و L مشترک عمود پارهخط دارند قرار L و L خط دو روی آنها امتحاني سؤاالت صفحهی بر L خط آنگاه باشد عمود میگذرند تقاطع نقطهی از که آن موازی غیر خط دو بر و کند قطع را P صفحهی L خط اگر کنید 3 ثابت 131 است. عمود P ماه خرداد کشوری هماهنگ P صفحهی تا خط از نقطه دو هر فاصلهی کنید ثابت باشد موازی P صفحهی با L خط 3 اگر 232 است. مساوی ماه خرداد کشوری هماهنگ ماه خرداد کشوری هماهنگ شود. تبدیل درست گزارهای به قسمت هر که کنید کامل چنان را زیر 3333 عبارتهای است. عمود P صفحهی بر که میگذرد... نیست عمود P صفحهی بر که L خط هر از الف. میگویند.... را باشد فاصله یک به پارهخط سر دو از که فضا از نقطههایی هندسی مکان ب. P صفحهی با AB خط کنید ثابت باشند P صفحهی طرف یک در دو هر B و A و فاصله یک به P صفحهی از B و A متمایز نقطهی دو 3 اگر 434 است. موازی ماه شهریور کشوری هماهنگ و شهریور تهران هماهنگ ماه خرداد کشوری هماهنگ است. صفحه نقاط تا نقطه آن بین فاصلهی کوتاهترین صفحه یک از نقطه یک فاصلهی که کنید 3535 ثابت AB = AC و ندارند قرار خط یک بر که باشند P صفحهی از نقطه سه C و B A کنید 3636 فرض AB خط بر KA خط و KC = KB طوریکه باشد P صفحهی از خارج نقطهای K اگر است. ماه شهریور کشوری هماهنگ است. عمود P صفحهی بر KA خط کنید ثابت باشد عمود ماه شهریور کشوری هماهنگ دهید. توضیح را رسم روش و نمایید رسم را آنها مشترک عمود باشند متنافر خط دو L و L 3737 اگر ماه شهریور کشوری هماهنگ دهید.( توضیح را رسم )روش کنید. رسم L خط بر عمود صفحهای L خط روی A نقطهی 3838 از ماه شهریور کشوری هماهنگ است. موازی P صفحهی با P صفحهی بر عمود خط هر کنید ثابت باشند عمود هم بر P و P صفحهی دو 3939 اگر است. یکتا صفحه این کنید ثابت سپس و کنید عمود L خط بر صفحهای L خط خارج A نقطهی 4 از 040 ماه دی کشوری هماهنگ است. عمود هم دیگری بر باشد عمود موازی صفحهی دو از یکی بر صفحهای اگر کنید 4 ثابت 141 باشد. عمود P صفحهی بر که کنید رسم خطی A نقطهی 4 از 242 کشوری هماهنگ است. عمود هم دیگری بر باشد عمود موازی صفحهی دو از یکی بر خطی اگر کنید 4 ثابت 343 درسی کتاب باشد. عمود P بر که بگذرانید L خط از صفحهای نباشد عمود P صفحهی بر L خط 4 اگر 444 130
فضا در هندسه چهارم: فصل درسی کتاب است. موازی P صفحهی با باشد عمود L خط بر که خطی هر باشد عمود P صفحهی بر L خط اگر کنید 4 ثابت 545 باشد. عمود L خط بر C نقطهی در BC خط که باشند P صفحهی در متمایز نقطهی دو C و B و است P صفحهی در خط یک L کنید 4 فرض 646 است. عمود L خط بر AC خط کنید ثابت باشد عمود P صفحهی بر AB خط که باشد فضا در نقطهای A اگر درسی کتاب است. برابر P با موازی صفحهای تا P صفحهی از نقطه دو هر فاصلهی کنید 4 ثابت 747 AB خط روی که باشد P صفحهی در نقطهای C اگر کنند. قطع B و A نقاط در را P صفحهی که باشند موازی خط دو L و L کنید 4848 فرض درسی کتاب عمودند. P صفحهی بر L و L خط دو کنید ثابت باشد عمود BC خط بر L خط و AC خط بر L خط و نباشد تألیفی است. عمود L و L بر که میگذرد خط یک تنها و یک A مانند نقطه هر از کنید ثابت باشند متنافر خط دو L و L 4949 اگر است. عمود P صفحهی بر Q 2 و Q 1 صفحهی دو مشترک فصل کنید ثابت باشند عمود P صفحهی بر Q 2 و Q 1 متقاطع صفحهی دو 5 اگر 050 امتحاني سؤاالت پاسخ درسی کتاب ميگذرد تقاطع نقطه از كه صفحه اين خط هر بر و ميكند قطع را P صفحه تعريف طبق باشد عمود P صفحه بر L خط اگر قضيه: اول طرف اثبات است. عمود نيز تقاطع نقطه از گذرنده موازي غير خط دو آن بر نتيجه در است. عمود و L 1 خط دو بر و كند قطع O نقطهي در را P صفحه L خط كنيم فرض قضيه: دوم طرف اثبات اين از خطي هر بر L خط كنيم ثابت بايد باشد. عمود ميگذرند O نقطهي از كه صفحه اين از L 2 نقطهي و L 1 روي را A دلخواه نقطهي است. عمود ميگذرد O نقطهي از كه L 3 مانند صفحه L خط روي ميناميم. C را L 3 با AB پارهخط برخورد محل ميگيريم. نظر در L 2 روي را B دلخواه. MO = MO كه ميكنيم انتخاب بهگونهاي را M و M نقاط آن طرف دو در و = MA يعني است متساويالساقين مثلث اين پس است ميانه هم و ارتفاع هم AO پارهخط MAM مثلث در چون ترتيب همين به و MA مثلث دو نتيجه در و MAC = M AC پس همنهشتاند )ضضض( حالت به MAB و MAB مثلث دو پس. MB = MB ميشود ثابت رب وارد ميانه متساويالساقين مثلث در چون و است متساويالساقين MCM مثلث پس MC = MC پس همنهشتاند نيز MAC و MAC. L3 L ديگر عبارت به و است عمود MM بر CO يعني ميباشد نيز ارتفاع است( ميانه )كه CO پس هست هم ارتفاع قاعده باشند B و A بهترتیب P صفحهی بر آنها قائم تصاویر و L خط از دلخواه نقطهی دو B و A اگر پارهخط با AB پارهخط است. عمود P صفحهی بر BB و AA موازی خط دو شامل صفحهی آنگاه اینصورت غیر در زیرا نیستند نیز متقاطع خط دو این دارند قرار صفحه یک بر زیرا نیست متنافر AB قطع را P صفحهی L خط یعنی است P روی هم و L روی هم M باشد M آنها برخورد نقطهی اگر و AA چون و است موازی AB پارهخط با AB پارهخط نتیجه در است فرض خالف که میکند 31 32 AA = BB نتیجه: در و است متوازیاالضالع ABBA چهارضلعی پس موازیاند نیز BB پارهخط آن عمودمنصف صفحهی ب. صفحه یک تنها و یک الف. 33 131
متوسطه سوم سال ]2[ هندسه برابرند عمود دو این فرض بنابر آوریم فرود P صفحهی بر را BB و AA عمود دو B و A از اگر ABBA چهارضلعی نتیجه در میباشند هم موازی پس عمودند صفحه یک بر دو هر چون و است موازی P صفحهی خطوط از یکی با AB خط چون است. AB AB و متوازیاالضالع است. موازی P صفحهی با AB خط بنابراین کنید. مراجعه درس متن از 6 مثال به = AK و AB = AC KB = KC چون سه برابری بنابر KAC و KAB مثلث دو پس AK AC یعنی KAC= KAB = 90 نتیجه در و همنهشتاند ضلع بنابر طرفی از. KA KA بنابراین و میباشد عمود P صفحهی از ناموازی خط دو بر KA درنتیجه KA AB فرض است. عمود P صفحهی بر 34 35 36 37 میباشد L موازی و L شامل که را P مانند صفحهای باشند متنافر L و L خط دو اگر میباشد عمود P صفحهی بر و L خط شامل که را Q صفحهی اکنون میکنیم. رسم چون. L کهd است واضح بنامیم d را صفحه دو این مشترک فصل اگر میکنیم. رسم زا متقاطعاند. M مانند نقطهای در پس نیستند موازی و واقعاند صفحه یک بر L و d باشد. عمود L و d بر که میکنیم رسم چنان Q صفحهی بر واقع D مانند خطی M عمود L و L بر D چون میباشد. عمود نیز L بر یعنی آن موازی بر است عمود d بر خط این چون میکند قطع B مانند نقطهای در را L خط خط این میباشد. خط دو این مشترک عمود تعریف بنابر کرده قطع را دو هر و است عمود را d خط P صفحهی در A نقطهی از میگذرانیم. را Q و P مانند متمایز صفحهی دو L خط از ود از گذرا صفحهی و میکنیم رسم L بر عمود را D خط Q صفحهی در A نقطهی از همچنین و L بر آن از ناموازی خط دو بر L خط زیرا است نظر مورد صفحهی R مینامیم. R را D و d ناموازی خط است. عمود L خط بر A نقطهی در R صفحهی نتیجه در است عمود P صفحهی در d خط اگر باشد. عمود P بر نیز d خط و عمود هم بر P و P صفحات کنیم فرض عمودند هم بر P و P صفحات چون نباشد P صفحهی در d خط اگر است. موازی آن با باشد و است d P و d بنابراینP است عمود P بر که هست P صفحهی در d مانند خطی پس از یکی با d خط یعنی d d میشود نتیجه هستند موازی هم با صفحه یک بر عمود خط دو چون است. موازی نیز P صفحهی با بنابراین است موازی P صفحهی خطهای 38 39 132
فضا در هندسه چهارم: فصل کنید( مراجعه درسی کتاب 151 صفحهی 1 مسئلهی به ( میکنیم عمود D بر P مانند صفحهای نقطه این در و میکنیم رسم L موازی را D خط A از باشد عمود L بر و بگذرد A از نیز Q صفحهی و ) خلف فرض ( نباشد یکتا صفحه این اگر میباشد. مسئله جواب و است عمود نیز L خط بر صفحه این است. تناقض این و هستند موازی P صفحهی دو 3 نتیجهی بنابر رگا میدانیم باشد. عمود P صفحهی بر Q صفحهی و موازی P و P صفحهی دو کنیم فرض مشترکهای فصل و میکند قطع نیز را دیگری کند قطع را موازی صفحهی دو از یکی صفحهای رب Q صفحهی چون است. موازی L با L شکل به توجه با بنابراین هستند موازی یکدیگر با آنها چون و است عمود L بر d پس باشد عمود P بر که هست Q در d مانند خطی است عمود P صفحهی در و است عمود P بر Q صفحهی از خطی یعنی است عمود نیز L بر d پس است موازی L با L است. عمود P بر Q صفحهی نتیجه رب عمود را Q 1 صفحهي A نقطهي از ميگيريم. نظر در صفحهيP در را L 2 و L 1 ناموازي خط دو 40 41 42 نقطهی شامل که d مانند خطي در صفحه دو اين ميكنيم. رسم L 2 بر عمود را Q 2 صفحهي و L 1 d خط تعامد اساسي قضيهي بنابر )چرا ( است. عمود L 2 و L 1 خط دو بر يقينا که متقاطعاند است A است. عمود P صفحهي بر را P L چون است. عمود نيز P بر L كنيم ثابت بايد باشد عمود برP L خط و P P كنيم فرض هك باشند P از متمايز خط دو d 2 و d 1 اگر ميكند. قطع A مانند نقطهاي در نيز را P ميكند قطع است. d2 L و d 1 L آنگاه ميگذرند A از ا عمودندوضمن L بر d 2 و d 1 رسمكنيم d 2 و d 1 رابهترتيبموازي d 2 و d 1 دوخط A اكنوناگراز نيزعموداست. P عموداست بر P بردوخطناموازياز L قراردارندوچون P ايندوخط روي 43 خط دو L و L ميكنيم. رسم P صفحه بر عمود را L خط L خط روي A مانند نقطه يك از است. مسئله جواب ميگذرد خط دو اين از كه صفحهاي و متقاطعاند 44 d موازی را Ax خط L بر واقع A دلخواه نقطهی از باشد. عمود L بر d خط کنیم فرض فصل و میگذرد Q مانند صفحهای Ax و L از است. عمود L بر نیز Ax پس میکنیم رسم میباشد. عمود هم D بر پس است عمود P بر L چون است. D مانند خطی P با آن مشترک و هستند موازی هم با پس عمودند خط یک بر و دارند قرار صفحه یک در D و Ax خط دو d بنابراین: P و d D نتیجه در است d موازی Ax چون 45 133
متوسطه سوم سال ]2[ هندسه BC که آنجا از و L AB پس L P و AB P چون AC درنتیجه: است Q روی نیز AC چون L P بر را BB و AA عمودهای P بر واقع B و A نقطهی دو از و باشند موازی P و P صفحات اگر صفحات با مشترکش فصل میگذرد خط دو این از که صفحهای. AA BB آنگاه آوریم فرود و است عمود میباشد BC و AB خط دو شامل که Q صفحهی بر d پس d در و AB AB پس هستند موازی P و P صفحات چون و است AB و AB خط دو P و P AB نتیجه: در و است متوازیاالضالع ABBA نتیجه AB = L دو بر L خط پس L BC فرض بنابه. L AC پس L AC و L L چون ثابت ترتیب همین به. L P نتیجه در است عمود P صفحهی از BC و AC ناموازی خط P میشود: 46 47 48 بگذرد A از که دارد وجود خط یک پس است عمود خطها این دوی هر بر شود رسم L و L متنافر خط دو مشترک عمود موازی A نقطهی از که خطی خط دو بر و میگذرند A از d و D متمایز خط دو کنیم فرض اگر است. بهفرد منحصر خط این کنیم ثابت باید اکنون باشد. عمود L و L خط دو بر و زا متقاطع خط دو بر L و L چون مینامیم. P را میگذرد d و D متقاطع خط دو از که را صفحهای آنگاه ( خلف فرض ( هستند عمود L و L متنافر متنافرند مذکور خط دو زیرا است فرض خالف این و میباشند موازی هم با نتیجه در و هستند عمود P صفحهی بر خط دو این پس عمودند صفحه این است. عمود L و L خط دو بر و میگذرد A از که دارد وجود خط یک تنها و است باطل خلف فرض پس باشد عمود P بر δ خط اگر مینامیم. L را Q 2 و Q 1 متقاطع صفحهی دو مشترک فصل با δ پس δ Q 2 دلیل همین به و δ Q 1 درنتیجه است عمود P بر نیز Q 1 چون آنگاه است عمود P بر δ خط چون و است موازی L یعنی Q 2 و Q 1 صفحهی دو مشترک فصل 49 50 بود. خواهد عمود P بر نیز L... يادداشت: 134
فضا در هندسه چهارم: فصل )4( فصل چهارگزينهاي بيازماييد را خود سراسری كنكور است کدام واقعاند موازی صفحهی دو بر آنها سر دو که پارهخطهايی وسط هندسی 1 مکان 1. صفحه دو با موازی صفحهای 2( صفحه دو بر عمود صفحهای 1( صفحه دو بر عمود خطی 4( صفحه دو موازی خطی 3( سراسری كنكور... صورت اين در است. قائمه زاويهی يک صفحه يک بر قائمهای زاويهی 2 تصوير 2. است. صفحه بر عمود ديگر ضلع و است صفحه موازی آن ضلع يک 1( نيست. صفحه بر عمود ديگر ضلع و است صفحه موازی آن ضلع يک 2( نيست. صفحه موازی ديگر ضلع و است صفحه بر عمود آن ضلع يک 3( نيست. صفحه موازی آن ضلع دو از هيچيک 4( سراسری كنكور... آنگاه باشد عمود AB و d خط دو بر P صفحهی 3 اگر 3. صفحهاند. يک بر d و AB )2 است. AB عمودمنصف d )1 است. d موازی AB )4 عمودند. برهم d و AB )3 سراسری كنكور بگذرد مفروض نقطهی دو از که نمود عمود ثابت صفحهی يک بر میتوان صفحه 4 چند 4. بینهايت 4( هيچ 3( دو 2( يک 1( سراسری كنكور برهماند عمود مفروض صفحهی دو حالت کدام وجود 5 با 5. مشترک فصل بر عمود صفحه هر از خط يک 2( صفحه دو هر بر عمود صفحه يک 1( دوم صفحهی بر عمود اول صفحهی از خط يک 4( مشترک فصل بر عمود اول صفحهی از خط يک 3( چگونه P صفحهی و d خط وضع باشند موازی P صفحهی با و متقاطع d مفروض خط با و گذشته O مفروض نقطهی از متمايز خط دو 6 اگر. 6 سراسری كنكور است d P )4 d P )3 d P )2 d P )1 دارد باخطعمودبرصفحهیسوم کداموضعرا P و P برصفحهیسومیعمودند.فصلمشترکدوصفحهی P و P 7 دوصفحهیمتقاطع 7. سراسری كنكور نامشخص 4( موازی 3( متنافر 2( عمود 1( هچ بههم نسبت ديگر ضلع دو آنگاه باشد موازی دوم زاويهی ضلع يک با اول زاويهی ضلع يک اگر برابرند. بعدی سه فضای در زاويه 8 دو. 8 دارند وضعی نامشخص 4( عمود يا موازی 3( عمود الزاما 2( موازی الزاما 1( سراسری كنكور d طخ موازی و P صفحهی بر عمود صفحهي بیشمار A نقطهی از حالت کدام در است. مفروض P صفحهی و d خط بيرون در A 9 نقطهی 9. سراسری كنكور کرد رسم میتوان d P )4 d P )3 d P)2 d P )1 سراسری كنكور هستند عمود P صفحهی بر و میگذرد خط از که دارد وجود صفحه چند است. عمود P صفحهی بر 1 خط 010 بیشمار 4( صفحه يک فقط 3( صفحه دو فقط 2( هيچ 1( 135
متوسطه سوم سال ]2[ هندسه باشد موجود دو آن بر عمود و δ و d خط دو بر متکی پارهخط يک فقط اگر است. P صفحهی موازی δ خط و آن بر واقع d خط و P 1 صفحهی 111 است چگونه بههم نسبت خط دو آن وضع برهماند. عمود 4( متنافر 3( متقاطع 2( موازی 1( سراسری كنكور سراسری كنكور... است متمايز صفحهی دو مشترک فصل موازات به که 1 خطی 212 است. موازی صفحات از يکی بر واقع خط هر با 2( است. موازی صفحه دو هر با الزاما 1( باشد. عمود صفحهها از يکی بر واقع خط هر بر میتواند 4( گيرد. قرار صفحه دو هر موازی صفحهای در میتواند 3( سراسری كنكور... که است عمود P صفحهی بر P صفحهی 1 وقتی 313 باشد. ديگر صفحهی بر عمود صفحهها از يکی موازی خط هر 1( باشد. عمود نيز ديگر صفحهی بر صفحه يک بر عمود خط هر 2( باشد. صفحه دو مشترک فصل بر عمود صفحه دو از يکی در واقع خط يک 3( باشد. عمود ديگر صفحهی در واقع خط دو بر P صفحهی در واقع خط يک 4( یلو موجود حالت کدام در D خط موازی و P صفحهی بر عمود و A نقطهی بر گذرا صفحهی مفروضاند. A نقطهی و D خط و P 1 صفحهی 414 سراسری كنكور نيست يکتا A D)4 A P )3 D P )2 D P )1 آزاد كنكور باشد مماس مفروضی کرهی بر که داد مرور میتوان صفحه چند حداکثر مفروض خطی 1 بر 515 دو 4( هيچ 3( يک 2( بیشمار 1( d روی C مانند نقطه چند حداکثر بگيريد. نظر در نيست واقع AB عمودمنصف صفحهی روی که d ثابت خط و B و A ثابت نقطهی 1 دو 616 باشد متساویالساقين C رأس در ABC مثلث که دارد وجود بيشمار 4( سه 3( دو 2( يک 1( بههم نسبت D و d خط دو میگذرد. A از که است D خط صفحه همين روی D خط تصوير و A نقطهی P صفحهی روی d خط 1 تصوير 717 چگونهاند متقاطع يا متنافر 4( متقاطع فقط 3( متنافر فقط 2( موازی فقط 1( است کدام باشد d از k 1 818 3 فاصلهی به و d از 2 k فاصلهی به که فضا از نقطهای هندسی مکان است. k برابر d و d موازی خط دو فاصلهی 3 است. تهی مکان 4( نقطه دو 3( d و d موازی خط دو 2( d و d موازی خط يک 1( 2 ود از و d فاصلهی به L خط از که نقطهای هندسی مکان بگيريد. نظر در آنها از يکی روی را L خط و d فاصلهی به P و P صفحهی 1 دو 919 3 است گزينه کدام است فاصله يک به نيز صفحه متنافر خط دو 4( راست خط يک 3( متقاطع خط دو 2( موازی خط دو 1( وجود d خط روی C مانند نقطه يک میدانيم بگيريد. نظر در است عمود AB بر که فضا در d خط و 10 فاصلهی به B و A ثابت نقطهی 2 دو 020 است چقدر d و AB مشترک عمود طول است. متساویاالضالع ABC مثلث طوریکه دارد 5 3 )4 5 2 3 )3 7/5 )2 5 )1 کند قطع را d 3 و d 2 که نمود رسم میتوان d 1 با موازی خط چند متنافرند. دوبهدو d 3 و d 2 d 1 خط 2 سه 121 بيشمار 4( تا دو حداکثر 3( يکی حداکثر 2( خط يک تنها و يک 1( 136
فضا در هندسه چهارم: فصل کند قطع را خط سه هر که نمود رسم میتوان خط چند متنافرند. دوبهدو d 3 و d 2 d 1 خط 2 سه 222 بيشمار 4( يکی حداکثر 3( يکی دقيقا 2( هيچ 1( قطع را d و D که دارد وجود خط چند بگيريد. نظر در نيست موازی خط دو اين از هيچيک با که را P صفحهی و d و D متنافر خط 2 دو 323 است موازی P صفحهی با و میکند بيشمار 4( دو 3( يک 2( هيچ 1( پارهخط آن روی و میکنيم رسم مثلث صفحهی بر عمودی a ضلع به متساویاالضالعی مثلث ارتفاع سه همرسی نقطهی O نقطهی 2 از 424 است چقدر مثلث رأس هر از G فاصلهی میکنيم. جدا a برابر را OG 39 3 a )4 39 6 a )3 2 3 3 a )2 3 3 a )1 P صفحهی موازی که میگذرد A از خط چند نيست. موازی P صفحهی با d خط و است واقع P صفحهی بيرون و d خط خارج A 2 نقطهی 525 کند قطع را d خط و باشد يکی دقيقا 4( بيشمار 3( تا دو حداکثر 2( يکی حداکثر 1( است گزينه کدام P صفحهی بر d و d تصوير میکند. قطع را d و d متنافر خط دو مشترک عمود P 2 صفحهی 626 متقاطع خط دو 4( نقطه دو 3( موازی خط دو 2( نقطه يک و خط يک 1( P و P صفحهی دو هر با که گذراند A نقطهی از میتوان خط چند است. مفروض صفحه دو خارج A نقطهی و P و P موازی صفحهی 2 دو 727 باشد موازی هیچ 4( تا دو 3( بیشمار 2( یکی 1( آزاد كنكور سراسری كنكور باشد Q صفحهی بر عمود و P صفحهی موازی میتواند شرایط کدام با 2 خط 828 ( P Q ) )4 ( P Q) )3 P Q =φ )2 P Q )1 موازی d 2 با و عمود d 1 بر که دارد وجود d 3 مانند خط چند باشند عمود یکدیگر بر d 2 و d 1 اگر مفروضاند. فضا در d 2 و d 1 2 خطوط 929 نباشد آزاد كنكور بیشمار 4( دو 3( یک 2( صفر 1( زا C و B A نقاط که گذراند خط بر میتوان صفحه چند است خط موازی BC ضلع است. ABC مثلث صفحهي خارج در 3 خط 030 باشند فاصله يك به آن سراسری كنكور 4 )4 3 )3 2 )2 1 )1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 كليدي پاسخنامه 137